Question

【題目】已知數列滿足：， . （其中為自然對數的底數，）

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設，是否存在實數，使得對任意成立？若存在，求出的一個值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 不存在滿足條件的實數

【解析】試題分析：（1）第（Ⅰ）問，先證明一個不等式，再利用該不等式證明. (2)第（Ⅱ）問，先利用數學歸納法證明，再利用該不等式證明不存在實數M.

試題解析：（Ⅰ）證明：設，令，得到.

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

故，即（當且僅當時取等號）.

故 ，所以.

（Ⅱ）先用數學歸納法證明.

①當時，.②假設當時，不等式成立，那么當時， ，也成立.故對都有.

所以.

取，

.

即 .

所以，對任意實數，取，且，，

則.

故，不存在滿足條件的實數.