Question

已知拋物線C₁：y=x²，橢圓C₂：x²+=1．
（1）設l₁，l₂是C₁的任意兩條互相垂直的切線，并設l₁∩l₂=M，證明：點M的縱坐標為定值；
（2）在C₁上是否存在點P，使得C₁在點P處切線與C₂相交于兩點A、B，且AB的中垂線恰為C₁的切線？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導，設切點分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²），求出直線l₁，l₂的方程，根據l₁⊥l₂可得結果；
（2）設P（x，x²），寫出C₁在點P處切線方程，聯立它與橢圓的方程，消去y，得到關于x一元二次方程，△＞0，利用韋達定理和（1）的結論即可求出點P的坐標．
解答：解：（1）y′=2x，
設切點分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁² ①
l₂方程為y=2x₂x-x₂² ②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即
所以，
即點M的縱坐標為定值．
（2）設P（x，x²），
則C₁在點P處切線方程為：y=2xx-x²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2xx-x²）-4=0
即（4+4x²）x²-4x³x+x⁴-4=0
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則
△=16x⁶-16（1+x²）（x⁴-4）=16（4+4x²-x⁴）＞0   ③
由（1）知
從而，
即
進而得
解得，且滿足③
所以這樣點P存在，其坐標為．
點評：此題是個難題．本題考查了橢圓與拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，以及利用導數研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，