Question

某高校最近出臺一項英語等級考試規定；每位考試者兩年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取證書，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果小明決定參加等級考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.5，0.6，0.7，0.9，
（1）求小明在兩年內領到證書的概率；
（2）求在兩年內小明參加英語等級考試次數ξ的分布列和ξ的期望．

Answer 1

解：（1）小明在兩年內領到證書的概率為P=1-（1-0.5）（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）=0.994．
（2）ξ的取值分別為1，2，3，4．
ξ=1，表明小明第一次參加英語等級考試就通過了，
故P（ξ=1）=0.5．
ξ=2，表明小明在第一次考試未通過，第二次通過了，
故P（ξ=2）=（1-0.5）×0.6=0.30
過，第三次通過了，故
P（ξ=3）=（1-0.5）×（1-0.6）×0.7=0.14
P（ξ=4=（1-0.5）×（1-0.6）×（1-0.7）=0.06
試次數ξ的分布列為：

∴ξ的期望Eξ=1×0.5+2×0.30+3×0.14+4×0.06=1.76．
分析：（1）小明在兩年內領到證書的概率，等于1減去它的對立事件的概率．其對立事件為：小明在兩年內的4此考試中都沒有
通過，概率為 （1-0.5）（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）．
（2）ξ的取值分別為1，2，3，4．再求出ξ取每個值的概率，即得試次數ξ的分布列，再由分布列求ξ 的期望Eξ．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，以及隨即變量ξ的期望的計算公式的應用．