Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖(1)(2)(3)(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮,現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.

(1)求出f(5).

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)的關系式,并根據你得到的關系式求f(n)的關系式.

 

Answer 1

(1)41 (2) f(n)=2n2-2n+1

【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,

∴f(5)=25+4×4=41.

(2)由f(2)-f(1)=4=4×1.

f(3)-f(2)=8=4×2,

f(4)-f(3)=12=4×3,

f(5)-f(4)=16=4×4,

…

得f(n+1)-f(n)=4n.

∴f(2)-f(1)=4×1,

f(3)-f(2)=4×2,

f(4)-f(3)=4×3,

…

f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

f(n)-f(n-1)=4·(n-1)

∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]

=2n(n-1),

∴f(n)=2n2-2n+1.