Question

給出下列四個命題：
①已知

a

=(3，  4)， 

b

=(0，  1)，則

a

在

b

方向上的投影為4；
②若函數y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x（x∈R）的值恒等于2，則點（a，b）關于原點對稱的點的坐標是（0，-2）；
③函數f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數；
④已知函數f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數，其定義域為[a-c，b]，則點（a，b）的軌跡是直線；
⑤P是△ABC邊BC的中線AD上異于A、D的動點，AD=3，則

PA

•(

PB

+

PC

)的取值范圍是[-

9

2

，  0)．
其中所有正確命題的序號是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：①根據

a

在

b

方向上的投影為

a • b

| b |

，可得結論；
②先求點（a，b），即可得出結論；
③y=lgx在（0，+∞）上是增函數，可得函數f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數；
④利用函數是偶函數，求出b+c的值，確定a-c，b的關系，求出點（a，b）滿足的關系，即可得到；
⑤|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，故

PA

•(

PB

+

PC

)=2

PA

•

PD

=-2t（3-t）=2t²-6t，利用配方法可得結論．

解答：解：①已知

a

=(3，  4)， 

b

=(0，  1)，則

a

在

b

方向上的投影為

a • b

| b |

=4，故是真命題；
②∵函數y=（a+b）cos²x+（a-b）sin²x=（a-b）+2bcos²x的值恒等于2，∴

a-b=2 b=0

，∴a=2，b=0，∴點（a，b）關于原點對稱的點的坐標是（-2，0），故是假命題；
③∵y=lgx在（0，+∞）上是增函數，∴函數f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數，故是真命題；
④函數f（x）=ax²+（b+c）x+1（a≠0）是偶函數，其定義域為[a-c，b]，所以b+c=0，并且b=c-a，所以b=-b-a，即b=-

1

2

a，所以點（a，b）的軌跡是直線，故是真命題；
⑤設|AP|=t，t∈（0，3），則|PD|=3-t，∴

PA

•(

PB

+

PC

)=2

PA

•

PD

=-2t（3-t）=2t²-6t=-2(t-

3

2

)2+

9

2

，∵t∈（0，3），∴

PA

•(

PB

+

PC

)的取值范圍是[-

9

2

，  0)，故是真命題．
故答案為：①③④⑤

點評：本題考查命題真假的判定，考查向量知識的運用，考查函數的性質，屬于中檔題．