Question

已知f（x）=log₂x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x，ny）在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|關于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有實根，a∈R}；
（3）設Hn(x)=(

1

2

)gn(x)，函數(shù)F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域為[-

1

2

，3]，
求證：a=

1

2

，b=2．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=log₂x，點N（x，ny）又在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N）．所以，直接代入即可；
（2）關于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有實根，即

x+2

=x+a有實根，實質(zhì)是求函數(shù)y=

x+2

-x的值域；
（3）函數(shù)F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域為[-

1

2

，3]，故此，本問題只需判斷出函數(shù)F（x）在[a，b]上的單調(diào)性即可求解a，b．

解答：解：（1）由條件知

y=f(x) ny=gn(x)

，又f（x）=log₂x∴解析式g_n（x）=nlog₂x．
（2）∵方程g₁（x+2）=g₂（x+a），即

x+2

=x+a，
∴求集合A就是求方程

x+2

=x+a有實根時a的范圍．
而a=

x+2

-x=-(

x+2

-

1

2

)2+

9

4

≤

9

4

，
∴a≤

9

4

時原方程總有實根，

∴集合A=(-∞，

9

4

]．

（3）∵Hn(x)=(

1

2

)nlog2x=

1

xn

∴F(x)=

1

x

-log2x，(0＜a≤x≤b)，
又F′(x)=-

1

x2

-

1

xln2

＜0， ∴F(x)在[a，b]上遞減，
∴

F(a)=3 F(b)=- 1 2

，即

1 a -3=lo g   2 a 1 b + 1 2 =log2b

①，
由y=

1

x

+t與y=log₂x的圖象只有唯一交點知：方程

1

x

+t=log2x只有唯一解，
經(jīng)檢驗

a= 1 2 b=2

是方程組①的唯一解，故得證．

點評：待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的一種常見方法，例如問題（1）；轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中的重要思想之一，問題的轉(zhuǎn)化往往可以收到意想不到的效果，如問題（2）；問題（3）再次展現(xiàn)了求解函數(shù)最值時導數(shù)的工具性作用．