Question

設數列{a_n}前n項和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（I）試求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

bn

an

，求證數列{c_n}的前n項和T_n＜2．
（Ⅲ）對任意m∈N*，將數列{2b_n}中落入區間（a_m，a_2m）內的項的個數記為d_m，求數列{d_m}的前m項和T_m．

Answer 1

分析：（I）當n=1時，S₁=2a₁-2，a₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，容易試求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

，應用錯位相消法求和
（Ⅲ）數列{2b_n}中落入區間（a_m，a_2m）內，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，所以數列{2b_n}中落入區間（a_m，a_2m）內的項的個數d_m=2^2m-1-2^m-1-1，分組后，再利用等比數列求和公式化簡整理．

解答：解：（I）當n=1時，S₁=2a₁-2，a₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，所以a_n=2a_n-1，數列{a_n}是以2為為公比的等比數列，且首項a₁=2，
通項公式為an=2×2^n-1=2ⁿ，
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

T_n=

1

21

+

2

22

+…

n

2n

，兩邊同乘以

1

2

得

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減得出

1

2

T_n=

1

21

+

1

22

+…

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

∴T_n＜2
（Ⅲ）數列{2b_n}中落入區間（a_m，a_2m）內，即a_m＜2b_n＜a_2m，所以2^m＜2n＜2^2m，2^m-1＜n＜2^2m-1，
所以數列{2b_n}中落入區間（a_m，a_2m）內的項的個數d_m=2^2m-1-2^m-1-1，
所以T_m．=

2(4m-1)

4-1

-

2m-1

2-1

-m=

1

3

×22m+1-2m-m+

1

3

點評：本題考查數列的遞推公式，通項公式、數列求和．考查累加法，公式法、錯位相消法的求和方法．考查計算能力．