Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，點分別是棱上的點滿足．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接、,由平面幾何的知識可得、，再由線面垂直的判定與性質即可得證；

（Ⅱ）過點作交的延長線于點，連接，過點作交于點，由面面垂直的判定與性質可得平面，即可得是所求線面角，由平面幾何的知識結合余弦定理可得線段、的長度，即可得解.

（Ⅰ）證明：取的中點，連接、,因為，

故，且，所以平面，

又因為平面，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，且平面，

故平面平面，過點作交的延長線于點，連接，

由平面平面可得平面，

過點作交于點，

所以平面，即是與平面所成的角．

過點作交于點，連接、，

因為，，

所以即，

所以，所以，

因為，所以，，

所以，,

由，得，，

又由得，

所以由余弦定理得，

故，

所以有，

所以直線與平面所成角的正弦值為．