Question

【題目】過軸上動點引拋物線的兩條切線、， 、為切點，設切線、的斜率分別為和.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求證：直線恒過頂點，并求出此定點坐標；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線過定點，證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程化簡得，由得，而都是方程的解，故；（Ⅱ）法1：設，由導數的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程并化簡變形得切線方程為，切線方程為，又由于點在AP、AQ上，所以， ，則直線的方程是，則直線過定點.；法2：由（1）知P、Q的橫坐標是方程的根，可設，由兩點坐標求得PQ的方程并化簡為即，由（1）知，所以直線的方程是，則直線過定點.

試題解析：（Ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

則該切線的方程為： ，由得

，

則都是方程的解，故。

（Ⅱ）法1：設，

故切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

切線的斜率是，方程是又，

所以方程可化為，

又由于點在AP上，則，

又由于點在AQ上，則，

，

則直線的方程是，則直線過定點.

法2：設， 所以,

直線： ，

即，由（1）知，

所以，直線的方程是，則直線過定點.