Question

關于函數f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

（x∈R）有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②y=f（x）的圖象可由y=2cos2x的圖象向右平移

π

6

個單位得到；
③y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱；
④y=f（x）在區間[

π

6

，

π

3

]上是減函數．
其中是假命題的序號有

①②③

．

Answer 1

分析：先把f（x）化為f（x）=2sin(2x+

π

3

)．
①根據f（x₁）=f（x₂）=0可得x1-x2=

kπ

2

，對k討論即可；
②把f（x）向右平移

π

6

個單位可得f(x-

π

6

)，再化簡比較即可；
③若y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

對稱，則必有f(-

π

6

)=±2，否則關于直線x=-

π

6

不對稱；
④利用y=sinx在區間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

](k∈Z)單調遞減進行判斷即可．

解答：解：∵f（x）=

3

(2cos2x-1)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)．
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得2sin(2x1+

π

3

)=2sin(2x2+

π

3

)=0，
∴2x1+

π

3

=k1π，2x2+

π

3

=k2π．
∴2x₁-2x₂=（k₁-k₂）π，
∴x1-x2=

kπ

2

．
當k=2n（n∈Z）時，x₁-x₂=nπ，此時x₁-x₂是π的整數倍；
當k=2n+1，（n∈Z）時，x1-x2=

2n+1

2

π=nπ+

n

2

π，此時x₁-x₂不是π的整數倍；
故①不正確；
②由y=2cos2x的圖象向右平移

π

6

個單位得到y=2cos2(x-

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)=2sin(2x+

π

6

)≠2sin(2x+

π

3

)，故②不正確；
③f(-

π

6

)=2sin(-

π

6

×2+

π

3

)=0≠±2，故y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

6

不對稱，∴③不正確；
④∵

π

6

≤x≤

π

3

，∴

2π

3

≤2x+

π

3

≤π，∴函數f（x）=2sin(2x+

π

3

)在區間[

π

6

，

π

3

]上是減函數，∴④正確．
綜上可知：假命題是①②③．
故答案為①②③．

點評：正確理解函數y=Asin（ωx+φ）的對稱性、單調性和平移變換等性質是解題的關鍵．