Question

【題目】己知橢圓的離心率為，分別是橢圈的左、右焦點，橢圓的焦點到雙曲線漸近線的距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓經過點，且原點到直線的距離為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）利用焦點到雙曲線漸近線距離為可求得；根據離心率可求得；由求得后即可得到所求方程；（2）由原點到直線距離可得；將直線方程與橢圓方程聯立，整理得到韋達定理的形式；根據圓的性質可知，由向量坐標運算可整理得，從而構造出方程組，結合求得結果.

（1）由題意知，，

雙曲線方程知，其漸近線方程為：

焦點到雙曲線漸近線距離：，解得：

由橢圓離心率得：

橢圓的方程為：

（2）原點到直線距離為：，整理得：

設，

由得：

則，即：

，

以為直徑的圓過點

又 ，

即：

由且得：，滿足

直線方程為：