Question

【題目】已知函數，(其中e為自然對數的底數).

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞增；（2）.

【解析】

（1）將代入解析式，并求得，令并求得；由的符號可判斷的單調性，進而求得，即可由符號判斷函數的單調性；

（2）根據不等式及函數的解析式，代入后化簡變形，并令，轉化為關于的不等式，分離常數后構造函數，求得后，再構造函數，求得；由的符號可判斷的單調性，進而可知存在使得，從而判斷出的單調性與極值點，結合函數解析式求得，即可由恒成立問題求得的取值范圍.

（1）當時，函數，

則，

令，

則，令，解得，

所以當時，，在時單調遞減，

當時，，在時單調遞增，

即，

所以，

即函數在上單調遞增.

（2）當時，不等式恒成立，

代入可得，

因為，化簡可得，即，

令，所以

則不等式可化為，

變形可得，

令，

則，

令，則，

令，解得，

當時，，則在內單調遞減，

當時，，則在內單調遞增，

而，

，，

所以存在使得，

從而當時，則在時單調遞增；

當時，，則在時單調遞減；

當時，，則在時單調遞增；

當時，，則在時單調遞減.

則在或處取得最大值，

而，，

因為，即

則，

綜上可知，的取值范圍為.