Question

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）函數(shù)是偶函數(shù), 所以得出值檢驗(yàn)即可；（2）因?yàn)?/span>時(shí)，存在零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有解，求出的值域即可；（3）因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有且只有一個(gè)解，所以，換元，研究二次函數(shù)圖象及性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）因?yàn)?/span>是上的偶函數(shù)，

所以，即

解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿足題意.

（2）因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>時(shí)，存在零點(diǎn)，

即關(guān)于的方程有解，

令，則

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）因?yàn)楹瘮?shù)與的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以關(guān)于的方程有且只有一個(gè)解，

所以

令，得 （*），記，

①當(dāng)時(shí)，方程（*）的解為，不滿足題意，舍去；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像開口向上，又因?yàn)閳D像恒過點(diǎn)，方程（*）有一正一負(fù)兩實(shí)根，所以符合題意；

③當(dāng)時(shí)，且時(shí)，解得，

方程（*）有兩個(gè)相等的正實(shí)根，所以滿足題意.

綜上，的取值范圍是.