Question

（本題滿分12分）某商場預計2009年1月份起前x個月，顧客對某種商品的需求總量p(x)（單位：件）與x的關系近似地滿足p(x)=x(x+1)(39-2x)，（x∈N^*，且x≤12）.該商品第x月的進貨單價q(x)（單位：元）與x的近似關系是q(x)=150+2x.(x∈N^*，且x≤12).（1）寫出今年第x月的需求量f(x)件與x的函數關系式；（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問商場2009年第幾月份銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？

Answer 1

(Ⅰ)f(x)=-3x²+40x(x∈N^*，且1≤x≤12).  (Ⅱ)  最大利潤為3125元

（1）當x=1時，f(1)=p(1)=37，當2≤x≤12時，f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)---(x-1)x(41-2x) =-3x²+40x (x∈N^*，且2≤x≤12). 驗證x=1符合f(x)=-3x²+40x(x∈N^*，且1≤x≤12). --------6分   
（2）該商場預計第x月銷售該商品的月利潤為
g(x)=(-3x²+40x)(185-150-2x)=6x³-185x²+1400x(x∈N^*，且1≤x≤12).       
g′(x)=18x²-370x+1400，令g′(x)=0，解得x=5，x=(舍去). ------8分  

當1≤x＜5時，g′(x) ＞0，當5＜x≤12時，g′(x) ＜0，∴當x=5時，g(x)_max=g(5)=3125（元）. 
綜上，商場2009年第5月份的月利潤最大，最大利潤為3125元.-------12分