Question

在數列{a_n}中，a₁=-6×2¹⁰，點（n，2a₊₁-a_n）在直線y=2¹¹x上，設b_n=a_n+1-a_n+t，數列{b_n}是等比數列．
（1）求出實數t；（2）令c_n=|log₂b_n|，問從第幾項開始，數列{c_n}中連續20項之和為100？

Answer 1

（1）由題設知2a_n+1=a_n+2¹¹n，從而an+1=

1

2

(an+211n)
當n＞1時，

bn

bn-1

=

an+1-an+t

an-an-1+t

=

an-an-1+211+t

2(an-an-1+t)

，
若{b_n}是等比數列，則2¹¹+2t=t，
故t=-2¹¹．
（2）∵{b_n}是以

1

2

為公比的等比數列，首項為a₂-a₁+t，
∴bn=(a2-a1-211)(

1

2

)n-1
∵a2=

1

2

(a1+211)=

1

2

(-6•210+211)，a₂-a₁-2¹¹=2¹¹
∴bn=211(

1

2

)n-1=212-n
∴c_n=|n-12|，
假設{c_n}從第k項起連續20項之和為100，
當k≥12時，c_k+c_k+1+…+c_k+19≥c₁₂+c₁₃+…+c₃₁=190≥100不合題意，
當k＜12時，c_k+c_k+1+…+c_k+19=12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k²-5k+106=100
解得k=2或3，
所以數列{c_n}從第二項或長三項起連續20項之和為100．