Question

【題目】已知函數（，且）．

（1）當時，設集合，求集合；

（2）在（1）的條件下，若，且滿足，求實數的取值范圍；

（3）若對任意的，存在，使不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】試題分析：（1）將代入，解對數不等式即可求出；（2）化簡不等式，可得，即 ，再結合，列出不等式組即可求解；（3）原問題等價于當時， ，分別根據增減性求出兩個函數的最小值即可建立不等式，解不等式即可求出的取值范圍.

試題解析：

（1）由時，由得，即，解得

，所以．

（2）由得，所以可轉化為； 在上恒成立，解得實數的取值范圍為．

（3）對任意的，存在，使不等式恒成立，等價于

時， ．

當時，由復合函數的單調性可知為上的減函數， 為上的增函數， 等價于，即，解得；

當時， 為上的增函數， 為上的減函數， 等價于，即，解得．

綜上，實數的取值范圍為．