Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù)，設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若在區(qū)間上的最大值為－3，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，試推斷方程是否有實(shí)數(shù)解．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

第一問中利用導(dǎo)數(shù)的思想求解極值，然后利用端點(diǎn)值和極值比較大小，得到最值。
第二問中，利用由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以
又令，，令，得
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
∴，即
因此得到結(jié)論。
解：（1）………1分
①若，則，從而在上是增函數(shù)，
∴，不合題意………2分
②若，則由，即，
由，即
從而在上是增函數(shù)，在為減函數(shù)
∴，得，即滿足意題……3分
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以………1分
又令，，令，得
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
∴，∴，………4分
∴，即
∴方程沒有實(shí)數(shù)解．………1分