Question

給出下列四個命題：
①命題“對任意的x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，使x²＜0”；
②定義在[0，

π

2

]的函數f（x）=sinx，若0＜x1＜x2＜

π

2

，則必存在x∈（x₁，x₂），使（x₁-x₂）cosx=sinx₁-sinx₂成立；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2＜

1

4

成立的概率是

π

4

；
④設函數f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，若f（x₁）＞f（x₂），則不等式x₁²＞x₂²必定成立．
其中真命題的序號是

 

．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷①；
由導數的知識可知，

sinx1-sinx2

x1-x2

為函數y=sinx的圖象過上任意兩點的割線的斜率，其極限為切線的斜率，且sin′x=cosx，判斷②；
利用幾何概率求解，求

0≤a≤1 0≤b≤1

所表示的屏幕區域是邊長為1的正方形，面積為1，不等式a2+b2＜

1

4

成立的區域是半徑為

1

2

的圓及內部區域，且在正方形內，面積為，

π

16

可判斷③；
先判斷函數f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]為偶函數，且在[0，

π

2

]單調遞增，f（x₁）＜f（x₂）?0＜x₁＜x₂，根據偶函數的對稱性可判斷④

解答：解：根據全稱命題的否定是特稱可知，對任意的x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，使x²＜0”①正確
②由導數的知識可知，

sinx1-sinx2

x1-x2

為函數y=sinx的圖象過上任意兩點的割線的斜率，其極限為切線的斜率，即過一點的導數值，sin′x=cosx，故②正確
③

0≤a≤1 0≤b≤1

所表示的屏幕區域是邊長為1的正方形，面積1，不等式a2+b2＜

1

4

成立的區域是半徑為

1

2

的圓及內部區域，且在正方形內，面積為

π

16

，故概率 P=

π

16

，③錯誤
④函數f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]為偶函數，且在[0，

π

2

]單調遞增，f（x₁）＜f（x₂）?0＜x₁＜x₂，根據偶函數的對稱性可知④正確
故答案為：①②④

點評：本題綜合考查了命題的否定，導數的幾何意義，與面積有關的幾何概率的求解，偶函數的性質等知識的綜合運用，解決本題要求熟練掌握基礎知識并能靈活運用．