Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3x； （Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求f（x）在區間[﹣3，2]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）=x3﹣3x， ∴f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．
令 f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．
若 x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），則f'（x）＞0，
故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函數，f（x）在（1，+∞）上是增函數，
若 x∈（﹣1，1），則f'（x）＜0，
故f（x）在（﹣1，1）上是減函數；
（II）∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2，
∴當x=﹣3時，f（x）在區間[﹣3，2]取到最小值為﹣18．
∴當x=﹣1或2時，f（x）在區間[﹣3，2]取到最大值為2
【解析】（Ⅰ）先求出函數f（x）=x3﹣3x的導函數f′（x），分別令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）分別求出兩個短點f（﹣3）和f（2）的值以及極值f（﹣1）和f（1）的值，比較一下便可求出f（x）在區間[﹣3，2]上的最大值和最小值．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．