Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）設c_n=2nb_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（I）由a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
有a₁+a₂=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3…（1分）
由S_n+1=4a_n+2，…①
則當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2…②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）…（3分）
又b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
∴數列{b_n}是首項b₁=3，公比為2的等比數列．…（4分）
（II）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

∴數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列，…（6分）
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
∴a_n=（3n-1）•2^n-2，…（8分）
（III）由（II）知，c_n=2nb_n=3n•2ⁿ，則
S_n=3（1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ），…（10分）①
2S_n=3（1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹），②
①-②，得
-S_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹，…（12分）
=3（1-n）2ⁿ⁺¹-6，
所以S_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹+6．…（14分）