Question

【題目】數列{an}中， ． （Ⅰ）求a1 ， a2 ， a3 ， a4；
（Ⅱ）猜想an的表達式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，∴ ，即a1=1， ∵ ，即a1+a2=4﹣a2﹣1，∴a2=1，
∵ ，即a1+a2+a3=4﹣a3﹣ ，∴a3= ，
∵ ，即a1+a2+a3+a4=4﹣a4﹣ ，∴a3= ，
（Ⅱ）猜想
證明如下：①當n=1時，a1=1，此時結論成立；
②假設當n=k（k∈N*）結論成立，即 ，
那么當n=k+1時，有
∵
∴ ，
這就是說n=k+1時結論也成立．
根據①和②，可知對任何n∈N*時 ．
【解析】（1）由 ．我們依次將n=1，2，3，4…代入，可以求出a1 ， a2 ， a3 ， a4；（2）觀察（1）的結論，我們可以推斷出an的表達式，然后由數學歸納法的步驟，我們先判斷n=1時是否成立，然后假設當n=k時，公式成立，只要能證明出當n=k+1時，公式成立即可得到公式對所有的正整數n都成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數學歸納法的定義的理解，了解數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．