Question

【題目】如圖，設L、M、N分別為的∠BAC、∠ CBA、∠ ACB內的點，且∠BAL=∠ ACL，∠ LBA=∠ LAC，∠ CBM=∠ BAM，∠ MCB=∠ MBA，∠ ACN=∠ CBN，∠ NAC=∠ NCB.

證明：（1） AL、BM、CN三線交于一點P；

（2）L、M、N、P四點共圓.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）如圖，設AL與BC交于點D，BM與CA交于點E，CN與AB交于點F.

由∠BAL=∠ACL，∠ABL=∠CAL，得.

由∠BLD=∠BAL+∠LBA=∠ACL+∠LAC=∠DLC

即LD平分∠BLC，得.

類似地，，.

故.

由塞瓦定理，知AD、BE、CF三線共點，即AL、BM、CN三線共點，記交點為P.

（2）如圖，記的外心為O.注意到，∠BAC=∠ACL，∠LBA=∠LAC

則.

于是，B、O、L、C四點共圓，即點O在的外接圓上.

因為AD平分∠BLC，所以，直線AD與BC的垂直平分線的交點為的外接圓的弧（不含點L）的中點K.

故OK為外接圓的直徑，，即∠OLP=90°.

類似地，∠OMP=90°，∠ONP=90°.

因此，點L、M、N均在以OP為直徑的圓上，L、M、N、P四點共圓.