Question

【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與拋物線交于兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點.

（1）若的坐標為，求的值；

（2）設線段的中點為，點的坐標為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于兩點，證明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：

（1）由題意可得拋物線的方程為，設切線的方程為，將其代入拋物線方程可得，根據判別式為零可得，驗證可得。（2）由條件得以線段為直徑的圓為圓，只考慮斜率為正數的直線，因為為直線與圓的切點，所以， ，故。又直線的方程為，將其代入拋物線方程由代數法可得弦長，從而可得結論成立。

試題解析：

（1）由拋物線的焦點到準線的距離為，得，

所以拋物線的方程為.

設切線的方程為，

由消去整理得，

由得，

當時，可得的橫坐標為，則，

當時，同理可得.

綜上可得。

（2）由（1）知， ，

所以以線段為直徑的圓為圓，

根據對稱性，只要探討斜率為正數的直線即可，

因為為直線與圓的切點，

所以， ，

所以，

所以，

所以直線的方程為，

由消去整理得，

因為直線與拋物線交于兩點，

所以，

設，

則

所以，

所以。