Question

我們知道在△ABC中有A+B+C=π，已知B=

π

3

，求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：由三角形的內角和定理及B的度數，表示出A+C的度數，用A表示出C，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可確定出范圍．

解答：解：∵A+B+C=π，B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
則sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+sin

2π

3

cosA-sin

2π

3

sinA=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵A為三角形的內角，且B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，即

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴sinA+sinC的取值范圍是（

3

2

，

3

]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．