Question

【題目】已知等差數列和等比數列，其中的公差不為.設是數列

的前項和.若、、是數列的前項，且.

（Ⅰ）求數列和的通項公式；

（Ⅱ）若數列為等差數列，求實數；

（Ⅲ）構造數列，，，，，，，，，…，，，，，…，，…，

若該數列前項和，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或;(Ⅲ)34.

【解析】試題分析：

(1)由題意列出方程組求得數列的首項，公差，則其通項公式為，進一步即可求得數列的通項公式為

(2)利用等差數列的通項公式是關于n的一次函數列出方程組，求解方程組可得或;

(3)結合題意分組求和得到關于m的方程，解方程討論可得.

試題解析：

（Ⅰ）設等差數列的公差為（），由、、是數列的前項，且

得，因為，所以，故的通項公式為；而，，所以等比數列的公比，

的通項公式為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因為數列為等差數列，所以可設，，，

所以即對總成立，不妨設，，，

則對總成立，取，

，得，解得，即，

解得或．令．

當時，，因為，所以為等差數列；

當時，，因為，所以為等差數列．

綜上，或．

另解：由（Ⅰ）知，因為數列為等差數列，所以，，必成等差數列，所以，即，解得或．

令．

當時，，因為，所以為等差數列；

當時，，因為，所以為等差數列．

綜上，或．

（Ⅲ）設從到各項的和為，則

因為，所以

，因此

．

當時，，當時，，所以，可設 后面有項，則，所以，，因此

，即的值為．