Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段AC₁上有兩個動點E，F，且EF=

3

3

．給出下列四個結論：
①BF∥CE；
②CE⊥BD；
③三棱錐E-BCF的體積為定值；
④△BEF在底面ABCD內的正投影是面積為定值的三角形；
其中，正確結論的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由BC與AC₁為異面直線可判斷①的正誤；
②利用BD⊥平面ACC₁，可判斷②的正誤；
③通過計算三棱錐E-BCF的體積可判斷③；
④分析△BEF在底面ABCD內的正投影可判斷④的正誤．

解答：解：∵BC與AC₁為異面直線，
∴BF與CE異面，故①錯誤；
對于②，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為1的正方體，
∴BD⊥平面ACC₁，CE?平面ACC₁，
∴CE⊥BD，故②正確；
對于③，V_E-BCF=V_B-ECF=

1

3

×（

1

2

|BD|）•S_△ECF=

1

6

×

2

•S_△ECF，
又在直角三角形ACC₁中，點C到EF的距離為h=

6

3

，|EF|=

1

3

|AC₁|=

3

3

，
∴S_△ECF=

1

2

×

3

3

×

6

3

=

2

6

，
于是，V_E-BCF為定值，故③正確；
對于④，EF在底面ABCD內的正投影在底面對角線AC上，其射影的長度為

1

3

|AC|，點B到AC的距離就是投影三角形的高，故△BEF在底面ABCD內的正投影是面積為定值的三角形，正確．
綜上所述，正確選項為②③④．
故答案為：C．

點評：本題考查棱柱的結構特征，考查異面直線、線面垂直、正投影與射影概念的理解與應用，考查分析與計算能力，屬于中檔題．