Question

【題目】已知函數.

（1）求此函數的極大值，并請直接寫出此函數的零點個數；

（2）若函數，且此函數在區間內單調遞增，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 極大值；2個零點；(2).

【解析】

（1）利用導數判斷函數單調性從而確定極大值，由，且在上單調遞減知在定義域內有兩個零點；（2）由題意得對任意的恒成立，則，利用導數求出函數的最大值即可求得a的范圍.

（1）函數的定義域為，

，令，解得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

則在處取得極大值，

因為，所以為函數的一個零點，

又，，且在上單調遞減，

所以在上有一個零點，所以函數在定義域內有兩個零點；

（2），則，

若函數在區間內單調遞增，則對任意的恒成立，

即對任意的恒成立，

，令，故，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，

所以當時，，所以.