Question

如圖1，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分別交BB₁，CC₁于點P、Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A′₁與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，請在圖2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．

Answer 1

（1）證明：因為AB=3，BC=4，
所以AC=5，從而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．（3分）
又因為AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁
所以AB⊥PQ （6分）
（2）證明：過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，
因為AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7 （9分）
∴MN=PB=3∵PB∥CQ∴MN∥PB∴四邊形PBMN為平行四邊形
∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ．（12分）
分析：（1）根據AB，BC，AC三邊滿足AC²=AB²+BC²，可知AB⊥BC，而AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，根據線面垂直的判定定理可知AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁，根據線面垂直的性質可知AB⊥PQ；
（2）欲證BM∥平面APQ，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證BM與平面APQ內一直線平行即可，過M作MN∥CQ交AQ于N，連接PN，
根據邊的比例關系可證得四邊形PBMN為平行四邊形，從而BM∥PN，滿足定理所需條件．
點評：本題主要考查了空間兩直線的位置關系的判定，以及直線與平面平行的判定，同時考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．