Question

設x₁、x₂∈R，規定運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²+（x₁-x₂）²．
（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求動點P（x，）的軌跡c；
（Ⅱ）設P（x，y）是平面內任意一點，定義：d₁（p）=，d₂（p）=，問在（Ⅰ）中的軌跡c上是否存在兩點A₁、A₂，使之滿足d₁（A_i）=）（i=1、2），若存在，求出a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題中“*”運算的定義，得動點P（x，）滿足，得y²=2（a²+x²），化簡即得所求軌跡c是焦點在y軸上的雙曲線，在第一象限內的一部分；
（II）根據題意，化簡得且d₂（p）=|x-a|，假設存在兩點A₁、A₂滿足題設的條件，y²=2（a²+x²）消去y得關于x的一元二次方程：（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0，此方程有兩個非負的實數根．由此結合根的判別式與韋達定理，建立關于a的不等式組并解之，即可得到實數a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴當x≥0時，設P（x，y），則，
∴y²=2（a²+x²）（y＞0）化簡得（x≥0，y＞0），
所求軌跡c是實半軸長為、虛半軸長為a，焦點在y軸上的雙曲線，
在第一象限內的一部分（包括上頂點）…6′
（Ⅱ），．
假設存在兩點A₁、A₂，使得（i=1、2），即．
∴x²+y²=a•（x-a）²，
又∵y²=2（a²+x²），∴x²+2（a²+x²）=a•（x-a）²，
即（3-a）x²+2a²x+2a²-a³=0有兩非負實數根．…10′
∴
故當a＞3時，存在適合條件的兩點．…13′．
點評：本題給出新定義，求動點的軌跡方程并依此討論滿足指定條件的點的存在性．著重考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式和圓錐曲線的定義與性質等知識，屬于中檔題．