Question

某軟件公司新開發(fā)一款學(xué)習(xí)軟件，該軟件把學(xué)科知識(shí)設(shè)計(jì)為由易到難共12關(guān)的闖關(guān)游戲．為了激發(fā)闖關(guān)熱情，每闖過一關(guān)都獎(jiǎng)勵(lì)若干慧幣（一種網(wǎng)絡(luò)虛擬幣）．該軟件提供了三種獎(jiǎng)勵(lì)方案：第一種，每闖過一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)40慧幣；第二種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)多獎(jiǎng)勵(lì)4慧幣；第三種，闖過第一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)0.5 慧幣，以后每一關(guān)比前一關(guān)獎(jiǎng)勵(lì)翻一番（即增加1倍），游戲規(guī)定：闖關(guān)者須于闖關(guān)前任選一種獎(jiǎng)勵(lì)方案．
（Ⅰ）設(shè)闖過n （ n∈N，且n≤12）關(guān)后三種獎(jiǎng)勵(lì)方案獲得的慧幣依次為A_n，B_n，C_n，試求出A_n，B_n，C_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）如果你是一名闖關(guān)者，為了得到更多的慧幣，你應(yīng)如何選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案？

Answer 1

分析：（Ⅰ）第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列，且各項(xiàng)均為40，由此能求出A_n=40n；第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各項(xiàng)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是4，公差也為4的等差數(shù)列，由此能求出B_n的表達(dá)式；第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是0.5，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出C_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）令A(yù)_n＞B_n，即40n＞2n²+2n，解得n＜19．由n≤12，知A_n＞B_n恒成立．令A(yù)_n＞C_n，即40n＞

1

2

(2n -1)，解得n＜10．故當(dāng)n＜10時(shí)，A_n最大；當(dāng)10≤n≤12時(shí)，C_n＞A_n．由此能夠選出最佳的選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案．

解答：解：（Ⅰ）∵第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成常數(shù)列，且各項(xiàng)均為40，
∴A_n=40n．
第二種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各項(xiàng)各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是4，公差也為4的等差數(shù)列，
∴Bn=4n+

n(n-1)

2

×4=2n2+2n，
第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案闖過各關(guān)所得慧幣構(gòu)成首項(xiàng)是0.5，公比為2的等比數(shù)列，
∴Cn=

1 2 (1-2n)

1-2

=

1

2

(2n-1)．
（Ⅱ）令A(yù)_n＞B_n，即40n＞2n²+2n，解得n＜19．
∵n∈N^*，且n≤12，∴A_n＞B_n恒成立．
令A(yù)_n＞C_n，即40n＞

1

2

(2n -1)，解得n＜10．
∴當(dāng)n＜10時(shí)，A_n最大；當(dāng)10≤n≤12時(shí)，C_n＞A_n．
綜上所述，若你是一名闖關(guān)者，當(dāng)你能沖過的關(guān)數(shù)小于10時(shí)，應(yīng)該選用第一種獎(jiǎng)勵(lì)方案；
當(dāng)你能沖過的關(guān)數(shù)大于等于10時(shí)，應(yīng)該選用第三種獎(jiǎng)勵(lì)方案．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)際中的具體運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，仔細(xì)分析題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．