Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋bx²＋ax＋d的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為6x-y+7=0.（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

(Ⅰ) f(x)＝x³-3x²-3x+2   (Ⅱ)  f(x)＝x³-3x²-3x+2在(-∞，1-)內(nèi)是增函數(shù)，在(1-，1+)內(nèi)是減函數(shù)，在(1+，+∞)內(nèi)是增函數(shù).

解析:

（Ⅰ）由f(x)的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知d＝2，則

f(x)＝x³＋bx²＋cx＋2，f??(x)＝3x²＋2bx+c，

由在M(-1,f(-1))處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f??(-1)=6，

∴，即，解得b=c=-3，

故所求的解析式是f(x)＝x³-3x²-3x+2.

（Ⅱ）f??(x)＝3x²-6x-3，令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0，

解得x₁=1-，x₂=1+，當(dāng)x＜1-或x＞1+時(shí)，f??(x)＞0；

當(dāng)1-＜x＜1+時(shí)，f??(x)＜0，

故f(x)＝x³-3x²-3x+2在(-∞，1-)內(nèi)是增函數(shù)，在(1-，1+)內(nèi)是減函數(shù)，在(1+，+∞)內(nèi)是增函數(shù).