Question

（本題滿分12分）已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f(x)滿足f(+f(x₂)=f(x₁)，且當x＞1時，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判斷f(x）的單調(diào)性并加以證明；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)>-2.

Answer 1

（1）f(1)=0.（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
（3）{x| -9<x＜0或0<x＜9}.

本試題主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解集，
（1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0.
（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,由于當x＞1時，f(x)＜0,
所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),
（3）由題意有f=f(x₁)-f(x₂)，則f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2進而求解不等式。
解 （1）令x₂=x₁＞0,代入得f(1)+f(x₁)=f(x₁),故f(1)=0.……………………3分
（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,由于當x＞1時，f(x)＜0,
所以f＜0,即f (x₁)-f(x₂)＜0,因此f(x₁)＜f(x₂),
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).……………………7分
（3）由題意有f=f(x₁)-f(x₂)，則f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.………………9分
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x＜9.……………………11分
又因為|x|>0,因此不等式的解集為{x| -9<x＜0或0<x＜9}.……………………12分