Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁B₁B是菱形，四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°．
（1）求證：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求B₁C₁到平面A₁CB的距離；
（3）求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B
∴CB⊥平面A₁ABB₁
∵CB∈平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）依題意的：A₁B=2，AB₁=2

3

，B₁C=

5

，A₁C=

5

∵B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁CB，BC?平面A₁CB
∴B₁C₁∥平面A₁CB
則B₁C₁到平面A₁CB的距離等于點C₁到平面A₁CB的距離為 H′
∵△A₁CB的面積S₁=1
∵AB₁⊥A₁B，CB⊥AB₁
∴AB₁⊥平面A₁CB
∴三棱錐C₁-A₁CB的體積等于三棱錐B₁-A₁CB的體積
∴H′=

1

2

AB₁=

3

即B₁C₁到平面A₁CB的距離等于

3

（3）設A₁到平面BCC₁B₁的距離為H
∴平行四邊形BCC₁B₁的面積S=2，
則△A₁B₁C₁的面積為1，BB₁=2．
由棱錐A₁-B1BC1的體積等于棱錐B-A₁B₁C₁的體積，
得：H=

2

∴sinθ=

2

5

∴直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值 tanθ=

6

2