Question

【題目】(2015新課標II)已知橢圓C:9x2+y2=m2（m0），直線l不過原點O且不平行于坐軸，l與C有兩個交點A,B，線段AB的中點為M.
（1）(I)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（2）（II）若l過點(,m)延長線段OM與C交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【證明】設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A(x1，y1)，B（x2，y2），M（xm,ym）

將y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xM==,yM=KXM+b=,于是直線OM的斜率KOM==-,即KOMk=-9，所以直線OM的斜率與l的斜率乘積為定值。

（2）

當l的斜率為4-或4+時，四邊形OAPB為平行四邊形

【解析】(II)四邊形OAPB能為平行四邊形
因為直線l過點（,m），所以l不過原點且與C又兩個交點的充要條件是k0，k≠3
由（I）得OM的方程為y=-x,設點P的橫坐標為xP
由得=即=,將點（,m）的坐標代入直線l的方程得b=,因此,四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即=2。
于是=2x.解得k1=4-,k2=4+
因為ki0，ki≠3，i=1，2.所以當l的斜率為4-或4+時，四邊形OAPB為平行四邊形.