Question

已知平面向量

α

，

β

，

c

滿足|

α

|=|

β

|=1，向量

α

與

β

-

α

的夾角為120°，且(

α

-

c

)•(

β

-

c

)=0，則|

c

|的取值范圍是

[

3 -1

2

，

3 +1

2

]

．

Answer 1

分析：設

AB

=

α

，

AC

=

β

，則

BC

=

β

-

α

，利用向量

α

與

β

-

α

的夾角為120°，|

α

|=|

β

|=1，可得△ABC是等邊三角形，根據(

α

-

c

)•(

β

-

c

)=0，可得

c

是以A為起點，終點在以BC為直徑的圓上（除去B，C點），從而可求|

c

|的取值范圍．

解答：解：設

AB

=

α

，

AC

=

β

，則

BC

=

β

-

α

∵向量

α

與

β

-

α

的夾角為120°，
∴∠ABC=60°
∵|

α

|=|

β

|=1，
∴△ABC是等邊三角形
∵(

α

-

c

)•(

β

-

c

)=0
∴

c

是以A為起點，終點在以BC為直徑的圓上（除去B，C點）
∴|

c

|的最小值為圓心到A的距離減去半徑，即

3 -1

2

；最大值為圓心到A的距離加上半徑，即

3 +1

2

∴|

c

|的取值范圍是[

3 -1

2

，

3 +1

2

]
故答案為：[

3 -1

2

，

3 +1

2

]

點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的數量積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．