Question

某地政府為科技興市，欲將如下圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形高科技工業(yè)園區(qū).已知AB⊥BC，OA∥BC,且AB=BC=2AO=4 km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右的拋物線的一段.如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上，問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積.（精確到0.1 km²）

Answer 1

解:以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，

依題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px(p＞0),且C（4，2）.

∵2²=2p·4,∴p=.

故曲線段OC的方程為y²=x(0≤x≤4,y≥0).

設(shè)P(y²,y)(0≤y＜2)是曲線段OC上的任意一點(diǎn)，則在矩形PQBN中，

∴工業(yè)區(qū)面積S=|PQ|·|PN|=(2+y)(4-y²)=-y³-2y²+4y+8.

S′=-3y²-4y+4，令S′=0得y₁=,y₂=-2.

∵0＜y＜2,∴y=.

當(dāng)y∈(0, )時(shí)，S′＞0，S是y的增函數(shù);

當(dāng)y∈(,2)時(shí)，S′＜0，S是y的減函數(shù).

∴y=時(shí)，S取到極大值，此時(shí)|PQ|=2+y=,|PN|=4-y²=,

故S=×=≈9.5.∵y=0時(shí),S=8,∴S _max=9.5 km².

所以，把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)為km，寬為km的矩形時(shí)，工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積約為9.5 km².