Question

【題目】(本小題滿分15分)

在等差數列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比數列{bn}的前三項．

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；

(2)設cn=an·bn，求數列{cn}的前n項和Sn．

Answer 1

【答案】（1）bn=3n－1；（2）（2）Sn=(n－1)·3n+1

【解析】本試題主要是考查了數列的概念，和數列的求和，尤其是等差數列和等比數列的性質的運用，以及利用錯位相減法求解數列的和的思想的綜合運用。

（1）根據已知的項之間的關系式，運用基本元素表示得到數列的通項公式的求解

（2）結合第一問中的結論，得到cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，的通項公式，分析通項公式的特點，選擇錯位相減法求解數列的和。

解: (1)由a1，a2，a5是等比數列{bn}的前三項得，

a22= a1·a5(a1+d)2=a1· (a1+4d) 2分

a12+2a1d+ d2 = a12+4a1dd2 =2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，

從而an= a1+(n－1) d=2n－1， 5分

則b1= a1=1，b2= a2=3，

則等比數列{bn}的公比q=3，從而bn=3n－1． 7分

(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1， 8分

則Sn= 1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1 ①

3Sn= 1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n ② 10分

①－②得， －2Sn= 1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n

=1+2×－(2n－1)·3n=－2 (n－1)·3n－2 13分

則Sn=(n－1)·3n+1． 15分