Question

【題目】已知函數.

（1）當時，判斷函數的單調性；

（2）若函數在處取得極小值，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在區間單調遞減（2）

【解析】

（1）當時，求得函數的導數，構造函數，利用導數求得的單調性與最值，進而得出的符號，即可求解函數的單調性；

（2）求得函數導數，構造新函數，求得的導數，分，，，四種情況討論，求得的單調性與最值，得出單調性，即可求解的極值，進而得到的范圍.

（1）當時，，定義域為，

，設，則，

當時，，當時，

所以函數在單調遞增，在單調遞減，

的最大值為，所以當時，，即

所以函數在區間單調遞減

（2）由已知得：，則，

記，則，，

①若時，則當時，在單調遞增

且當時，，即

當時，，即

又，所以函數在處取得極小值，滿足題意.

②若時，則，當時，，故函數區間單調遞增，

且當時即

當時，即

又，所以函數在處取得極小值，滿足題意.

③若時，則，由（1）知函數在區間單調遞減，

故在區間單調遞減，不滿足題意.

④若時，則，當時，故函數在單調遞減

且當時，，即

當時，，即，又，

所以函數在處取得極大值，不滿足題意.

綜上，實數a的取值范圍是