Question

已知函數，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=5x-4，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當a＞0時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數f（x）的導數，令f'（2）=5求出a的值，切點P（2，f（2））在函數f（x）和直線y=5x-4上，可求出b的值，最后得到答案．
（2）對f'（x）的解析式因式分解后討論可得答案．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ax²-（a+1）x+1，
由導數的幾何意義得f'（2）=5，于是a=3．
由切點P（2，f（2））在直線y=5x-4上可知2+b=6，解得b=4．
所以函數f（x）的解析式為f（x）=x³-2x²+x+4．
（Ⅱ），
當0＜a＜1時，，函數f（x）在區間（-∞，1）及上為增函數；
在區間上為減函數；
當a=1時，，函數f（x）在區間（-∞，+∞）上為增函數；
當a＞1時，，函數f（x）在區間及（1，+∞）上為增函數；
在區間上為減函數．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．