Question

【題目】選修4-5：不等式選講
已知定義在R上的函數f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N* ， 存在實數x使f（x）＜2成立．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求證： + ≥ ．

Answer 1

【答案】（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|， ∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，則|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．
∵m∈N* ， ∴m=1．
（II）證明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，
∴α+β=2．
∴ + = = ≥ = ，當且僅當α=2β= 時取等號
【解析】（I）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，則|m|＜2，m∈N* ， 解得m．（II）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，可得α+β=2．再利用基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．