Question

（2012•廣東）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量

α

和

β

，定義

α

○

β

=

α • β

β • β

，若平面向量

a

、

b

滿足|

a

|≥|

b

|＞0，

a

與

b

的夾角θ∈(0，

π

4

)，且

a

○

b

和

b

○

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，則

a

○

b

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：由題意可得

a

•

b

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

，同理可得

b

•

a

=

| b | •cosθ

| a |

=

m

2

，故有 n≥m 且 m、n∈z．再由 cos²θ=

mn

4

，

a

與

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），可得
cos²θ∈（

1

2

，1），即

mn

4

∈（

1

2

，1），由此求得  n=3，m=1，從而得到

a

•

b

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

的值．

解答：解：由題意可得

a

•

b

=

a • b

b • b

=

| a | • | b |•cosθ

| b |2

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

．
同理可得

b

•

a

=

a • b

a • a

=

| a | • | b |•cosθ

| a |2

=

| b | •cosθ

| a |

=

m

2

．
由于|

a

|≥|

b

|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z．
∴cos²θ=

mn

4

．再由

a

與

b

的夾角θ∈（0，

π

4

），可得 cos²θ∈（

1

2

，1），即

mn

4

∈（

1

2

，1）．
故有 n=3，m=1，∴

a

•

b

=

n

2

=

3

2

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，得到 n≥m 且 m、n∈z，且

mn

4

∈（

1

2

，1），是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．