Question

   已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ) 在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P的直

線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且PQ與C

在點P處的切線垂直? 若存在, 求出點P的坐標;

若不存在, 請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查解析

幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

(Ⅰ) 解: 設拋物線C的方程是x2 = ay,

則,

即a = 4.

故所求拋物線C的方程為x2 = 4y .            …………………(5分)

(Ⅱ) 解: 設P(x1, y1), Q(x2, y2),

則拋物線C在點P處的切線方程是

,

直線PQ的方程是

.

將上式代入拋物線C的方程, 得

,

故 x1+x2 =, x1x2 =－y1 ,

所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .

而＝(x1, y), ＝(x2 , y) ,

×＝x1 x2＋(y) (y)

＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1

＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1

＝－2y1 －－7

＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)

＝(y1＋1)2－

＝

＝0,

故 y1＝4, 此時, 點P的坐標是(±4,4) .

經檢驗, 符合題意.

所以, 滿足條件的點P存在, 其坐標為P(±4,4). …………………(15分)