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已知定義在R上的單調遞增奇函數以f（x），若當0≤θ≤ $數學公式$ 時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

解：∵當0≤θ≤ $\text{[math]}$ 時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，函數是奇函數，

∴當0≤θ≤ $\text{[math]}$ 時，f（cosθ+msinθ）＜f（2m+2）恒成立，
∵函數是定義在R上的單調遞增函數，
∴cosθ+msinθ＜2m+2，當0≤θ≤ $\text{[math]}$ 時恒成立，
∴m＞ $\text{[math]}$
令t= $\text{[math]}$ ，其幾何意義是（sinθ，cosθ）（0≤θ≤ $\text{[math]}$ ）與（2，2）連線的斜率
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴m≥ $\text{[math]}$ ．
分析：利用定義在R上的單調遞增奇函數，當0≤θ≤ $\text{[math]}$ 時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，等價于cosθ+msinθ＜2m+2，當0≤θ≤ $\text{[math]}$ 時恒成立，分離參數，確定其范圍，即可得到結論．
點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案

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15、已知定義在R上的單調函數f（x）滿足：存在實數x₀，使得對于任意實數x₁，x₂，總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立，則（i）f（1）+f（0）=

（ii）x₀的值為

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x₀，使得對于任意實數x₁，x₂總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且對任意正整數n，有an=

f(n)

，bn=f(

)+1，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n和T_n；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

[log

(x+1)-log

(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調函數y=f（x），當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數f（x）的一個解析式；
（2）數列{a_n}滿足a1=f(0)且f(an+1)=

f(-2-an)

(n∈N+)，
①求通項公式a_n的表達式；
②令bn=(

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

a1a2

a2a3

+…+

anan+1

，試比較Sn與

Tn的大小，并加以證明；
③當a＞1時，不等式

an+1

an+2

+…+

a2n

＞

(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x₀，使得對于任意實數x₁，x₂，總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且對于任意正整數n，有an=

f(n)

，bn=f(

)+1，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比較

Sn與T_n的大小關系，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

[log

(x+1)-log

(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州三模）已知定義在R上的單調函數f（x），存在實數x₀使得對任意實數x₁，x₂，總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且對任意的正整數n．有an=

f(n)

，bn=f(

)+1，記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比較

Sn與T_n的大小關系，并給出證明．

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已知定義在R上的單調遞增奇函數以f（x），若當0≤θ≤時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

已知定義在R上的單調遞增奇函數以f（x），若當0≤θ≤ $數學公式$ 時，f（cosθ+msinθ）+f（-2m-2）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．