Question

（2012•鷹潭模擬）已知函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的導函數），若a=

3

f(

3

)，b=(lg3)f(lg3)，  c=(log2

1

4

)f(log2

1

4

)，則a，b，c的大小關系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：設F（x）=xf（x），根據題意得F（x）是偶函數且在區間（0，+∞）上是增函數，由此比較

3

、lg3和2的大小，結合函數的性質，不難得到本題的答案．

解答：解：設F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），
∵當x∈（-∞，0）時，xf′（x）＜f（-x），且f（-x）=-f（x）
∴當x∈（-∞，0）時，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0
由此可得F（x）=xf（x）在區間（-∞，0）上是減函數，
∵函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，
∴F（x）=xf（x）是定義在實數集R上的偶函數，在區間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數．
∵0＜lg3＜lg10=1，

3

∈（1，2）
∴F（2）＞F（

3

）＞F（lg3）
∵log

1

2

4=-2，從而F（log

1

2

4）=F（-2）=F（2）
∴F（log

1

2

4）＞F（

3

）＞F（lg3）
即(log2

1

4

)f(log2

1

4

)＞

3

f(

3

)＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b
故答案為：A

點評：本題給出抽象函數，比較幾個函數值的大小．著重考查了利用導數研究函數的單調性、不等式比較大小和函數單調性與奇偶性關系等知識，屬于中檔題．