Question

已知動點M到定點F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）大家知道，過圓上任意一點P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心（定點）．受此啟發，研究下面問題：
1過（1）中的拋物線的頂點O任意作互相垂直的弦OA、OB，問：弦AB是否經過一個定點？若經過，請求出定點坐標，否則說明理由；2研究：對于拋物線上某一定點P（非頂點），過P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經過定點？

Answer 1

分析：（1）由條件可知動點M到定點F（1，0）的距離等于M到定直線x=-1的距離，拋物線的定義加以證明．
（2）先設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）及中點P的坐標，根據中點的定義得到三點坐標之間的關系，再由OA⊥OB得到

y1

x1

•

y2

x2

=-1，再結合A、B兩點在拋物線上滿足拋物線方程可得到y₁y₂、y₁²+y₂²的關系消去x₁、y₁、x₂、y₂可得到最后答案．；
設AB的方程為y=mx+n，代入y²=4x．得y²-2my-2n=0，然后由根與系數的關系可以得到直線AB的方程為x=my+my₀+x₀+2，它一定過交點（x₀+2，-y₀）．

解答：解：（1）證明：由題意可知：動點M到定點F（1，0）的距離等于M到定直線x=-1的距離
根據拋物線的定義可知，M的軌跡是拋物線
所以拋物線方程為：y²=4x
（2）
（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
l_AB：y=kx+b，（b≠0）由

y=kx+b y2=4x

消去y得：k²x²+（2bk-4）kx+b²=0，x₁x₂=

b2

k2

．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，y₁y₂=

4b

k

所以x₁x₂+（x₁x₂）²=0，b≠0，∴b=-2k，∴直線AB過定點M（1，0），
（ii）設p（x₀，y₀）設AB的方程為y=mx+n，代入y²=2x
得y²-2my=-2n=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂-2n其中y₁，y₂分別是A，B的縱坐標
∵AP⊥PB∴k_max•k_min=-1
即

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=1
∴（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4
•y₁y₂+（y₁+y₂）y₀+y₀²-4=0
（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，
=my₀+x₀+2
直線PQ的方程為x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定過點（x₀+2，-y₀）

點評：本題考查直線與圓錐的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意計算能力的培養，直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點內容，每年必考．