Question

(本小題滿分13分).某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設該容器的建造費用為千元．

（Ⅰ）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．

Answer 1

（I）_；
（II）是函數y的極小值點，也是最小值點。
（2）當時，建造費用最小時當時，建造費用最小時。

解析試題分析：（I）設容器的容積為V，
由題意知
故
由于
因此_{…………………………………………………………………….3分}
所以建造費用
因此_{………………………………………..5分}
（II）由（I）得
由于
當
令
所以_{………………………………….7分}
（1）當時，

所以是函數y的極小值點，也是最小值點。………………….10分
（2）當即時，
當函數單調遞減，
所以r=2是函數y的最小值點，
綜上所述，當時，建造費用最小時
當時，建造費用最小時………………13分
考點：本題主要考查導數在實際問題中的應用，利用導數求函數的最值，幾何體特征及體積計算。
點評：高考題，構建函數關系、準確求導數是解題的關鍵。