Question

（05年北京卷）(14分)

如圖,直線＞0)與直線之間的陰影區域(不含邊界)記為,其左半部分記為,右半部分記為.

(Ⅰ)分別有不等式組表示和.

(Ⅱ)若區域中的動點到的距離之積等于,求點的軌跡的方程;

(Ⅲ)設不過原點的直線與(Ⅱ)中的曲線相交于兩點,且與分別交于兩點.求證△的重心與△的重心重合.

 

Answer 1

解析：（I）W₁={(x, y)| kx<y<－kx, x<0}，W₂={(x, y)| －kx<y<kx, x>0}，

    （II）直線l₁：kx－y＝0，直線l₂：kx＋y＝0，由題意得

    , 即，

    由P(x, y)∈W，知k²x²－y²>0，

    所以 ，即,

    所以動點P的軌跡C的方程為；

  （III）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為x＝a（a≠0）．由于直線l，曲線C關于x軸對稱，且l₁與l₂關于x軸對稱，于是M₁M₂，M₃M₄的中點坐標都為（a，0），所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標都為（a，0），即它們的重心重合，

    當直線l₁與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=mx+n（n≠0）．

    由，得

    由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知k²－m²≠0且

△=>0

設M₁，M₂的坐標分別為(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，

則, ,

設M₃，M₄的坐標分別為(x₃, y₃)，(x₄, y₄)，

由得

從而，

所以y₃+y₄=m(x₃+x₄)+2n＝m(x₁+x₂)+2n＝y₁+y₂,

    于是△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合．