Question

（2012•房山區(qū)一模）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），離心率為

6

3

．
（I）求橢圓G的方程；
（II）設(shè)直線y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N．當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)橢圓方程，利用離心率為

6

3

，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；
（II）直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與橢圓相交可得m²＜3k²+1，及點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得AP的斜率，再分類討論，利用|AM|=|AN|，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（I）依題意可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+y2=1（a＞0），則離心率為e=

c

a

=

6

3

故

c2

a2

=

2

3

，而b²=1，解得a²=3，…（4分）
故所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．…（5分）
（II）設(shè)P（x_P，y_P）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），P為弦MN的中點(diǎn)，
直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①…（7分）
∴xP=-

3mk

3k2+1

，從而y_P=kx_P+m=

m

3k2+1

，
（1）當(dāng)k≠0時(shí)，kAP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

（m=0不滿足題目條件）
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，則-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1，②…（9分）
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2，…（10分）
由②得k²=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

．
故

1

2

＜m＜2…（11分）
（2）當(dāng)k=0時(shí)
∵直線y=m是平行于x軸的一條直線，∴-1＜m＜1…（13分）
綜上，求得m的取值范圍是-1＜m＜2．           …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．