Question

已知A、B是拋物線y²=4x上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（II）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的距離的最小值．

Answer 1

分析：（I）設直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韋達定理，結合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點M（4，0）．
（II）P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）到直線x-y=0的距離d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

，由此能求出點P到直線x-y=0的距離的最小值．

解答：解：（I）設直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

16

y1y2

=-

4

b

=-1，b=4．
于是直線AB方程為x=my+4，該直線過定點（4，0）．
（II）P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）到直線x-y=0的距離
d=

| x1+x2 2 - y1+y2 2 |

2

=

|y12+y22-4(y1+y2)|

8 2

=

|16m2+32-16m|

8 2

=

2

(m2-m+2)
=

2

(m-

1

2

)2+

7 2

4

，
當m=

1

2

時，d取最小值

7 2

4

．

點評：本題考查直線過定點的證明，考查點到直線的距離的最小值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、點到直線的距離公式的合理運用．