Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C．
（1）求∠C
（2）若△ABC的面積為5 ，b=5，求sinA．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C，

∴3（cosAcosB﹣sinAsinB）+1=cos2C，

可得：3cos（A+B）+1=cos2C，

∴﹣3cosC+1=2cos2C﹣1，

可得：2cos2C+3cosC﹣2=0，

可得：（2cosC﹣1）（cosC+2）=0，

∴解得：cosC= 或cosC=﹣2（舍去），

∵0＜C＜π，

∴∠C=

（2）

解：∵S△ABC= absinC=5 ，b=5，C= ，可得：a=4，

∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+25﹣2× =21，可得：c= ，

∴由正弦定理可得：sinA= = =

【解析】（1）移項，利用兩角和的余弦函數公式，三角形內角和定理，二倍角的余弦函數公式，誘導公式化簡已知可得2cos2C+3cosC﹣2=0，進而解得cosC，結合范圍0＜C＜π，即可得解C的值．（2）由已知利用三角形面積公式可求a，由余弦定理可得c的值，進而利用正弦定理即可解得sinA的值．
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正確解答此題．